4.1- Puntos y líneas
Königsberg, 1736: ¿Es posible atravesar una ciudad cruzando cada uno de sus siete puentes tan sólo una vez?
Para solucionar este problema, Euler proporciona una información fundamental: la ciudad está dividida en cuatro distritos representados por cuatro puntos, unidos mediante siete líneas que simbolizan los siete puentes.
El problema entonces es el siguiente: en este mapa, ¿existe una carretera que pase sólo una vez por cada línea? Se trata del principio de la teoría de los grados.
La respuesta de Euler fue: depende de cuántos puntos existan en los que concurren un número impar de líneas.
Sólo existe una solución si dicho número es igual a cero o dos.
Leonhard Euler (1707-1783)
Experiencia sobre mesa
Caminos en un cubo
Intente construir un cubo de 3x3x3 o un muro de 2x3x3, de tal manera que la línea roja sea continua.
Inténtelo una vez más utilizando el menor número posible de circuitos rectos.
¿Que retener?
Fue Euler quien inventó la Teoría de Grafos, al abordar problemas de este tipo.
Aquí el problema es, además, averiguar si hay soluciones minimales.
¿Cómo se puede demostrar que no existe ninguna solución sin circuitos rectos?
¿Cómo se puede probar que toda solución contiene al menos 2 o 3 circuitos rectos?
Idea & Realización: Centre•Sciences
4.2- ¿Cuatro colores Bastan?
¿Cuántos colores necesitamos para colorear un mapa de manera que dos países adyacentes tengan colores distintos?
La teoría de los Grafos nos permite representar este problema y reducir el número de casos por estudiar.
Gracias a los ordenadores, podemos analizar un gran número de este tipo de situaciones.
La Teoría de los Grafos se utiliza para representar y estudiar situaciones muy complejas tales como redes de telecomunicaciones, circuitos electrónicos, redes de distribución -agua, gas, electricidad, correos...- y otros numerosos problemas de logística, transporte y producción.
Experiencia sobre mesa
Un juego de colorear
Dos jugadores, por turnos, asignan un color de su elección a uno de los países.
La regla a seguir: dos países vecinos deben tener diferente color.
Pierde aquel que no puede ya jugar.
¿Que retener?
Si un jugador juega solo, la teoría de grafos nos dice que bastan 4 colores.
Es posible encontrar un algoritmo de coloración para 6 colores.
El problema todavía no tiene solución para 4 colores.
Idea & Realización: Jean Lefort (Strasbourg) & Centre•Sciences
4.3- ¡Hola! ¿Eres tú?
¿Cómo se realizan tus llamadas telefónicas?
Viajan de repetidor a repetidor hasta la central más cercana a tu interlocutor que será avisado por un tono.
En una ciudad, estas centrales de la red telefónica están ubicadas de la mejor manera posible teniendo en cuenta la topología irregular de las calles.
Cada central define una zona de proximidad de la llamada en forma de polígono conectado con sus vecinos.
Estas zonas delimitan una división en regiones de la ciudad, denominada Mosaico de Voronoï. Si se conectan las centrales de áreas vecinas, se obtiene un gráfico determinado aleatoriamente que representa los cables por los que viaja la llamada.
Los gráficos, la teoría de la probabilidad y la geometría se unen para permitir que te comuniques.
Experiencia sobre mesa
La vuelta al mundo
Seleccione un globo y encuentre un camino que pasa una sola vez por cada arista.
¿Que retener?
Un camino hamiltoniano pasa una sola vez por cada vértice. Este tipo de problema no tiene aún una solución general. (Un camino euleriano pasa una sola vez por cada arista).
Hamilton mostró que existe solución para las aristas de un dodecaedro regular (12 caras pentagonales). ¿Es lo mismo para un dodecaedro rómbico (12 caras con forma de rombo)?
Sobre el dibujo, ¿es posible reconstruir este “hipercubo” con una cuerda que pase una vez y sólo una por cada vértice?
Idée & Réalisation : Euler, Hamilton & Centre•Sciences – Illustration : JF Colonna
© Fotos: Jennifer Plantier, Museo de Lyon