3.1- Apilar naranjas
¿Cómo apilar naranjas ocupando el mínimo volumen posible?
En los mostradores, las naranjas ocupan el 74% del espacio.
Se trata del empaquetado cúbico de cara centrada bien conocido por los cristalógrafos.
Kepler consideró, cuatro siglos atrás, que este enfoque era el mejor.
No se pudo probar hasta 1998, mediante el estudio de más de 5.000 casos diferentes con la ayuda de ordenadores.
Este problema de la vida cotidiana cuenta con aplicaciones que incluyen el estudio de estructuras cristalinas y la teoría de los códigos. Pero, si deseamos llenar una caja de una forma determinada, el problema continúa sin tener una solución general.
- Johannes Kepler (1571-1630)
Experiencia sobre mesa
Las mejores formas de empaquetar esferas
A- ¿Cuántos discos unidad rojos pueden colocarse en un cuadrado de lado 1?, ¿de lado 2?, ¿3?, ¿4?... ¿de lado10?
B- Elija en una caja y coloque en ella tantas canicas como sea posible.
¿Cuál de las formas de colocarlas resulta ser la más densa?
¿Que retener?
A- En un cuadrado de lado 10, ¡se pueden colocar más de 100 discos! En el plano, la densidad máxima que se puede obtener usando discos idénticos es del 90.6%. Es decir, al menos un 20% de espacio vacío.
B- En el espacio tridimensional, cuando el empaquetamiento es regular, la densidad máxima se obtiene (como en las redes cristalinas) cuando las canicas están en los vértices y los centros de las caras de un empaquetamiento de cubos.
Esta distribución se llama “empaquetamiento cúbico con caras centradas”. Su densidad es del 74%.
Para empaquetamientos de canicas de diámetros diferentes o de formas aplanadas, el problema de la densidad máxima no está aún resuelto.
Idea & Realización: Centre•Sciences & Polytech Paris
3.2- De los átomos a los cristales
El cielo, la tierra, los átomos y las partículas elementales...
¿Por qué se utiliza a menudo la esfera (entera o en parte) para representar formas naturales?
A escala microscópica, los fenómenos naturales pueden representarse mediante esferas indeformables, que se mueven libremente o chocan sin que se produzca una pérdida de energía.
Si los átomos se representan en forma de esferas, los cristales se consideran como capas de átomos ordenadas, y casi siempre periódicas.
Estos fenómenos son como elementos de un juego infinito de billar en tres dimensiones: estos modelos permiten el estudio de gases, líquidos y determinados sólidos.
Experiencia sobre mesa
Pirámides el doble de altas
Con estas pirámides, construya una pirámide dos veces más alta.
Compare los volúmenes de estas pequeñas pirámides.
¿Que retener?
Una pirámide dos veces más alta, tiene un volumen 8 veces mayor.
De este modo, por recomposición, se pueden comparar los volúmenes de estas dos pirámides.
En el caso de aumentar tres veces la altura,
se puede incluso reencontrar la fórmula del volumen de cualquier pirámide: Volume = (Base x Height)/3
Con otros sólidos, el problema de empaquetamiento es, en general, más complicado.
Idea & Realización: Centre•Sciences
3.3- El empaquetado: un problema complejo
¿Qué ocupa menos volumen, un kilo de granos de café o un kilo de café molido?
Este pequeño problema pasa a ser importante cuando lo que se quiere es transportar toneladas de café...
El problema se convierte en complejo cuando los artículos son de diferentes tamaños y formas y deben transportarse en contenedores muy definidos.
A la inversa, ¿de qué manera se pueden encontrar las mejores dimensiones para que los objetos ocupen un volumen determinado?
Estos problemas, que dependen también del peso de los objetos, del coste del transporte, del gasto de almacenamiento, etc., aún no han sido resueltos.
Experiencia sobre mesa
Un problema complejo: llenar un baúl
Llene lo mejor posible este vagón con las cajas de madera.
Para conseguir, comience con compartimiento cúbico utilizando sólo las cajas de 2x2 y de 1x1.
¿Que retener?
En la vida cotidiana, encontramos regularmente este problema: colocar el máximo posible de objetos en una caja o la mayor cantidad posible de cajas en un baúl.
Para los matemáticos – entre otros – es un problema complejo: cuantos más objetos hay, mayor tiempo se requiere para encontrar una solución. Y este tiempo aumenta exponencialmente con el número de objetos. Idea & Realización: John Conway & Centre•Sciences
© Fotos: Jennifer Plantier, Museo de Lyon