10.1- Un tricycle à roues carrées !

Ce tricycle ne peut pas rouler sur une route plate ; mais il avance sans problème sur une “route” faite de surfaces courbes en forme de caténaires inversés (courbes formées par un câble non tendu et appelées chainettes).

L’équation de cette courbe fut trouvée par Jean Bernoulli, Huygens et Leibniz en 1691.
Illustration : Arches en forme de chainettes inversées réalisées par l’architecte Gaudy pour la Sagrada Familia à Barcelone.
Idée : Tokai University - Réalisation: Centre•Sciences

10.2- Un flipper de Galton

Dans ce flipper, chaque boule tombe sur les clous et rebondit. Elle a autant de chance de rebondir à gauche ou à droite de chaque clou.
Les boules arrivent en bas dans des “tiroirs” régulièrement répartis. Essayez de deviner dans quel tiroir la boule noire va arriver.

Cette planche, appelée planche de Galton, du nom de son inventeur, permet de faire apparaître de nombreuses propriétés des probabilités.
C’est Francis Galton, en 1889, qui a démontré que, dans la loi de répartition probabiliste des boules, on retrouve le triangle de nombres appelé triangle de Pascal. D’où le nom donné à la planche qui matérialise cette distribution.
Idée : Tokai University - Réalisation : Centre•Sciences

10.3- Un arbre à musique

Reconnaissez-vous cet air bien connu des enfants et des pianistes débutants ?
Où sont les mathématiques ?

Les lames d’un xylophone produisent différents sons suivant leur longueur et la densité de la matière qui les constitue.
Cet arbre à musique est une adaptation mathématique et artistique du xylophone.

Chaque branche de l’arbre représente une lame du xylophone. Les lames sont placées de façon à ce que la boule de bois descende de lame en lame en frappant chacune d’elles pour fournir une série de notes de musique qui produisent une certaine mélodie.
Certaines branches sont recouvertes d’une feutrine pour marquer un silence. Aucun son n’est produit quand la balle les frappe.
Idée : Tokai University - Réalisation : Centre•Sciences

10.4- Que voyez-vous ?

Ce bloc de bois peut être vu comme la silhouette d’un animal ou d’un autre !

Utilisé dans les tests psychologiques, cet objet montre qu’en mathématique, comme dans la vie, il faut savoir être “flexible” et aborder les problèmes sous tous les angles.
Idée : Tokai University - Réalisation : Centre•Sciences

10.5- Une Spirale Logarithmique

Faites tournez le disque. Que voyez-vous ? Que se passe-t-il ?

La spirale logarithmique se rencontre souvent dans la nature. Comme le montrent la coquille des escargots ou des nautiles, les spirales de la nature gardent la même forme tout au long de leur croissance.
Une spirale logarithmique se construit à partir d’un cercle. Elle peut se développer ou se contracter à l’infini.

Dans un système de coordonnées polaires, la spirale logarithmique a pour équation R = a.r^θ où a et r sont constantes.
Quand l’angle θ augmente d’une valeur α, R augmente proportionnellement à r^θ.
Ainsi, en faisant tourner cette spirale logarithmique, dans un sens ou dans l’autre, vous voyez apparaître une spirale qui se dilate ou qui se contracte.
Idée : Tokai University - Réalisation : Centre•Sciences

10.6- Six pyramides pour une Tour

Avec ces 6 blocs, essayez de construire une grande tour.

Si vous y arrivez, vous pourrez alors retrouver le volume de chaque pyramide.
C’est la somme des carrés : 1² + 2² + 3² + 4² +.......+ 8² !!!
Ces blocs permettent de retrouver la formule : de k=1 à n, ∑ k² = n(n+1)(2n+1)/6
Comme ici, pour n = 8, la procédure est la même pour tout n.

La tour finale, dont les dimensions sont n, n+1, 2n+1, combine 6 pyramides.
Soit: 6(1² +2² +3² + ... +n²) = n x (n+1) x (2n+1) et l’on retrouve la formule !
Cette construction a été trouvée par un mathématicien chinois, Yang Hui, au 13ème siècle.
Idée : Tokai University - Réalisation : Centre•Sciences

10.7- Qu’est-ce qu’une cycloïde ?

Faites glisser la roue le long du cadre et observer la courbe décrite par le point blanc.

Une cycloïde est la courbe tracée par un point fixe qui se trouve sur un cercle qui tourne sans glisser sur une ligne droite, comme un point sur une roue de vélo. Idée: Tokai University - Réalisation : Centre•Sciences

10.8- Le ruban de Möbius

Combien de faces, combien de bords a ce ruban, dit ruban de Möbius ?

Pouvez-vous citer des objets qui ont une seule face et zéro bord ?
Deux faces et un seul bord ? Deux bords et deux faces ? ….
Réalisez un ruban de Möbius avec une bande de papier et découpez ce ruban par le milieu de la bande. Combien de rubans allez-vous obtenir ? Combien de faces et combien de bords ? Idée : Ferdinand Möbius (1790–1868) - Réalisation : à partir d’une œuvre de M.C. Escher (1898-1972)

10.9- Fractales et papier plié

Comment faire ?
En partir d’une feuille 1 x 2, pliez en deux, faites 2 fentes sur le pli, dépliez et faites 2 plis vallées pour obtenir le 1er cube. Et recommencez…

Vous obtenez une suite de cubes de plus en plus petits.
Le premier, le plus grand, est au centre. Puis vous en rajoutez deux plus petits. Si vous montez à ce petit escalier, vous rencontrez les cubes dans cet ordre : 2-1-2.
En ajoutant les quatre cubes n°3, vous obtenez l'escalier : 3-2-3-1-3-2-3.
Cette étape 3 vous montre comment déduire le nouvel ordre du précédent.
Ajoutez les cubes n°4, l’escalier devient 4-3-4-2-4-3-4-1-4-3-4-2-4-3-4.
Vous pouvez noter que cet ordre décrit aussi l'ordre des plis montagnes de la première ligne du premier modèle, le pli plus petit étant n°5, suivant du n°4... Idée et réalisation : Jean Brette (Paris)

10.10- Placez 11 cubes dans la valise

Combien de cubes de côté 10 cm peut-on mettre dans une valise carrée de côté 39 cm ?

Vous êtes souvent confronté à ce problème de remplissage de petits colis dans un paquet plus grand.
Il est évident que l’on peut placer 9 cubes dans cette valise. C’est encore possible avec 10 cubes. Avec 11 aussi, mais il faut trouver la bonne disposition !
Ce problème illustre un problème plus général : quel est le plus grand carré dans lequel on peut placer n cubes de côté 1 unité ?
Pour 11 cubes, la plus petite valise carrée connue a pour côté 3.877 unités ; elle a été trouvée par W. Trump.
Si n = m², alors la plus petite valise carrée dans laquelle vous pouvez placer n cubes a pour côté m.
Si n n’est pas un carré parfait, le problème n’a pas encore trouvé de solution générale. Idée: Tokai University - Réalisation : Centre•Sciences

10.11– Un pendule chaotique

Lancez le pendule et essayez de deviner au-dessus de quel aimant il va s'arrêter.

Si le pendule part d'un point bleu, il s'arrêtera finalement au-dessus de l'aimant bleu. Mais au voisinage des lignes frontières, le moindre petit écart modifiera complètement la trajectoire du pendule.
L'évolution d'un système chaotique est décrit mathématiquement par la trajectoire d'un point dans un espace dont la dimension dépend des paramètres choisis.
Pour les systèmes les plus simples ce point est attiré vers un point d'équilibre ou une courbe près desquels il repasse périodiquement. Ces courbes limites sont appelées attracteurs. Pour les systèmes chaotiques, ces attracteurs sont des courbes fractales. Idée et réalisation : Centre•Sciences