9.1- 3000 años de investigaciones

¿Existe la duda en las matemáticas?
¿Es posible darse por satisfecho con una serie de hipótesis cuando éstas son correctas en un 99%?

Las demostraciones constituyen la base de la actividad de los matemáticos y, de hecho, es lo que verdaderamente distingue a la suya de otras actividades.
Las primeras demostraciones eran sencillas, estaban escritas en unas pocas líneas y podía comprenderlas todo aquél que tuviera estudios medios.
Hoy en día, existen demostraciones que ocupan cientos de páginas, para las que hay que hacer uso de ordenadores y de las que sólo pueden emitir un dictamen un reducido grupo de especialistas.
La complejidad del mundo plantea cada vez más preguntas a los matemáticos. Para responderlas, éstos tienen que construir modelos y demostrar a continuación lo adecuado de los mismos.

Experiencia sobre mesa

Debajo de la arena yace El Teorema

¡Gire el disco y verá que aparece el Teorema de Pitágoras!

¿Que retener?

Este teorema provocó una de las primeras crisis que han permitido el desarrollo de la matemática: antes de esa época, se pensaba que todas las longitudes, áreas, volúmenes y otras cantidades geométricas, podían medirse con números enteros o fraccionarios.
Los pitagóricos descubrieron que la diagonal de un cuadrado con lado de longitud 1 no podía medirse con tales números.
Así nacieron los números irracionales. Idea & Realización: Centre•Sciences

9.2- De Pitágoras a Wiles

¿Existen números enteros como X2 + Y2 = Z2?
¿O como Xn + Yn = Zn, cuando n es mayor que 2?

Los griegos fueron los primeros que trataron de resolver estos problemas.
Fue entonces cuando Pitágoras dio su nombre al teorema sobre “el cuadrado de la hipotenusa...” o cuando Euclides formuló la demostración más antigua que se conoce.
Más tarde, Fermat afirmó que este resultado no se podía generalizar.
¡Y Wiles demostró esta hipótesis en 1994!

Para ello, se sirvió de los últimos trabajos de investigación realizados en un gran número de ámbitos de las matemáticas.
Por lo común, los matemáticos se esfuerzan en llamar nuestra atención sobre los grandes problemas aún por resolver.

• Pitágoras (siglo VI a. C.) - Euclides (siglo III a. C.)
• Pierre de Fermat (1601-1665) - Andrew Wiles (Cambridge, 1953)

Experiencia sobre mesa

Cube + Cube + Cube = Cube

Con los bloques, forme cubos de aristas 3, 4 y 5.
Luego forme un cubo de arista 6.
Y verifique que 33 + 43 + 53 = 63

¿Que retener?

Fermat, conjeturó que la ecuación Xn + Yn = Zn no tiene soluciones enteras para n mayor que 2.
Fue necesario esperar hasta 1994 para que el matemático inglés Andrew Wiles aportara una demostración definitiva después de 350 años de investigaciones.
Desde los tiempos más antiguos, los números y las operaciones aritméticas han ejercido una enorme fascinación.
En aritmética – la “reina de las matemáticas” según Gauss – ciertas cuestiones antiguas, como la propuesta por Fermat, se enuncian de manera muy sencilla y todavía no han sido resueltas. Idea & Realización: Centre•Sciences

9.3- Verdadero … pero indemostrable

¿Podemos siempre probar una cosa de la que sabemos que es verdadera?

En 1931, en un genuino "coup de théâtre", Kurt Gödel dio una respuesta negativa a esta pregunta con su famoso teorema de la “incompletitud”.
Gödel demostró que las nociones de verdad y probabilidad no son coincidentes, al descubrir una fórmula sobre números enteros que como tal es verdadera, pero de la que sin embargo no es posible ofrecer una demostración en la aritmética elemental.
Para mayor sorpresa de todos, Gödel mostró también, impulsado por el mismo espíritu, que dentro de la aritmética no es posible ni refutar ni probar que jamás vaya a llegarse a una contradicción.
La aritmética elemental es además indecidible. Por consiguiente, resulta imposible, por ejemplo, crear un programa informático capaz de comprobar si una determinada fórmula sobre números enteros es o no verdadera. Kurt Gödel (1906-1978)

Experiencia sobre mesa

Cuadrado + Cuadrado = Cuadrado

Haga un cuadrado usando las 4 piezas no cuadradas.
Luego haga otro cuadrado con las 5 piezas.

¿Que retener?

Con dos rompecabezas de este tipo, ¿podría usted formar un cuadrado dos veces mayor? ¡Inténtelo hacer en su casa!

Three for four, four for three…

Con las 4 piezas, construya un cuadrado o un triángulo.

¿Que retener?

¿Cómo transformar una mesa para 4 personas en una mesa con 3 cubiertos? ¡Hay dos soluciones técnicas!
Gracias a las matemáticas, ¡éste ya no es un… problema! Idea & Realización: Centre•Sciences

© Fotos: Jennifer Plantier, Museo de Lyon