2- Embaldosados y simetrías

2.1- Técnicas de embaldosado

¿Se puede cubrir un suelo con baldosas de cualquier forma sin dejar ningún hueco o superposición?
Podría funcionar con muchas formas, como por ejemplo con el pentágono regular, pero no con todas.
Los modelos de embaldosados que se repiten por translación son los que mejor conocemos y sus simetrías permiten la creación de 17 tipos diferentes de modelos.

La investigación de estos tipos de embaldosados y sus simetrías se basan en la "Teoría de Grupo" concebida por Evariste Galois. Si queremos embaldosar más libremente y no periódicamente, la investigación se halla todavía lejos de estar terminada. Entonces, ¿es posible embaldosar utilizando sólo una forma? ¡Es un misterio!
Los modelos de embaldosados encuentran aplicaciones matemáticas, cristalografía, códigos, física de partículas ...

Sir Roger Penrose (1931-2010)
Evariste Galois (1811-1832)

Experiencia sobre mesa

Teselaciones periódicas y no periódicas

A- Teselaciones periódicas: con las fichas de madera, intente recubrir el plano sin dejar espacios libres. ¿Es este recubrimiento regular?
B- Teselaciones no periódicas: con las fichas amarillas y rojas, intente recubrir el plano sin dejar agujeros.
Sólo hay una regla a seguir: los arcos de circunferencia deben tocarse entre dos piezas.

¿Que retener?

Todo cuadrilátero permite recubrir el plano sin dejar agujeros ni solapamientos.
No sucede lo mismo con otros polígonos que tienen más de cuatro lados, en particular con pentágonos regulares.

Los pentágonos regulares han permitido a Roger Penrose construir piezas que recubren automáticamente el plano, pero sin la regularidad de las teselaciones periódicas.
En 1984, los cristalógrafos han construido unos nuevos cristales, llamados cuasi-cristales, que tienen las mismas propiedades no periódicas el espacio de dimensión 3. Idea & Realización: Roger Penrose, Jean Brette y Centre•Sciences

2.2- ¿Es la naturaleza simétrica?

¿Por qué la doble hélice del ADN siempre gira en la misma dirección?
¿Por qué un rostro humano y su reflejo en el espejo no son superponibles?

Desde lo infinitamente pequeño hasta lo infinitamente grande, las simetrías aparecen en muchos modelos matemáticos.
Sin embargo, la naturaleza raras veces presenta simetrías perfectas. Algunas se nos escapan y otras son idóneas para asumirlas como perfectas.

Son mucho más frecuentes las formas vivas que giran hacia la derecha. Esta tendencia a la asimetría se debe al azar o a la propia asimetría de las fuerzas físicas: la pregunta sigue sin respuesta.

Experiencia sobre mesa

El espejo correcto en el lugar correcto

Seleccione un mosaico y coloque el caleidoscopio correcto en el lugar apropiado de manera que se pueda reencontrar, en mayor tamaño, el mosaico original.
Coloque uno de los espejos sobre las líneas rojas. Va a encontrar una teselación habitual de nuestras cocinas.

¿Que retener?

Las teselaciones islámicas son repeticiones hasta el infinito de un mismo motivo
Están dibujadas en el interior de un triángulo que, usando simetrías de espejos, va a reproducirse para formar un cuadrado, un hexágono o cualquier otro polígono con un número par de lados.
La misma técnica ha sido usada por artistas como Escher con motivos más figurativos. Idea & Realización: Centre•Sciences.

2.3- ¿Dónde estoy?

¿Cuántos satélites necesitamos alrededor de la Tierra para saber donde estamos en todo momento?

Tres son suficientes. Miden la distancia entre ellos y el objeto que siguen (un cuarto satélite ofrece una corrección temporal que mejora la precisión).
El objeto por localizar está equipado con un receptor portátil que comunica con los satélites mediante ondas electromagnéticas.

Su posición se encuentra en la intersección de 3 esferas centradas cada una en uno de los satélites y su radio es la distancia desde el objeto.
El GPS (Global Positioning System), los sistemas rusos –y pronto el sistema Europeo Galileo – nos permiten saber dónde nos encontramos en todo momento.

Experiencia sobre mesa

Satélites en órbita

Haga girar una canica alrededor de la Tierra.
Su trayectoria ¿puede ser circular?
Intente hacer girar dos canicas.

¿Que retener?

Después de ser lanzado, un satélite se coloca en una órbita elíptica.
Los satélites de observación de la Tierra se sitúan en órbitas geoestacionarias.

Para tratar estos problemas de satélites, los matemáticos utilizan herramientas desarrolladas desde tiempos de Kepler, pero también resultados recientes que tienen en cuenta la teoría de la relatividad. Idea & Realización: Jean Brette & Centre•Sciences