2- Paver un sol

2.1- Sous les pavages, la liberté ?

Peut-on recouvrir un sol avec n’importe quelle forme de carreaux, sans trou ni chevauchement ?
Beaucoup de formes conviennent, mais pas toutes comme par exemple le pentagone régulier.

Les pavages qui se répètent périodiquement par translations sont bien compris et leurs symétries internes permettent d’en distinguer 17 types. Leur étude relève de la théorie des groupes, due à Evaristo Galois.

Si l’on veut paver avec plus de liberté - de façon non périodique – l’ étude est loin d’être terminée. Ainsi, existe-t-il de tels pavages n’utilisant qu’une seule forme ? Mystère !
Les pavages trouvent des applications en mathématiques, en cristallographie, en théorie du codage...

Sir Roger Penrose (né en 1931 à Colchester)
Evariste Galois (1811-1832)

Expérience sur table

Pavages Périodiques et Non Périodiques

Pavages périodiques : avec les pièces en bois, réalisez un pavage sans trou. Est-il régulier ?

Pavages non périodiques : avec les pièces jaunes et rouges, réalisez un pavage sans trou.
Une seule règle à respecter : les arcs de cercles doivent se toucher d’une pièce à l’autre.

Que retenir ?

Tout quadrilatère permet de recouvrir le plan sans trou ni recouvrement.
Il n’en est pas de même avec les polygones qui ont plus de quatre côtés, en particulier avec les pentagones réguliers.
Les pentagones réguliers, mais ils ont permis à Roger Penrose de construire des pièces qui recouvrent automatiquement le plan, mais sans la régularité des pavages périodiques.

En 1984, des cristallographes ont construit de nouveaux cristaux, appelés quasi-cristaux, qui ont les mêmes propriétés non périodiques dans l’espace à 3 dimensions.
On a démontré depuis que ces pavages non périodiques sont des projections de pavages qui sont réguliers dans des espaces de dimensions supérieures à 6 ! Idée & Réalisation: Jean Brette & Centre•Sciences

2.2- La nature est-elle symétrique ?

Pourquoi la double hélice de l’ADN tourne-t-elle toujours dans le même sens ?
Pourquoi un visage et son image dans un miroir ne sont-ils pas superposables ?

De l’infiniment petit à l’infiniment grand, les symétries sont présentes dans de nombreuses modélisations mathématiques.
Mais la nature présente rarement des symétries parfaites. Certaines nous échappent, d’autres sont commodes pour étudier leurs modèles.

Les formes vivantes qui tournent à droite sont beaucoup plus fréquentes. Cet excès d’asymétrie pourrait s’expliquer par le hasard originel ou par l’asymétrie des forces physiques : la question reste ouverte.

Expérience sur table

Le bon miroir à la bonne place

Choisissez une mosaïque et placez le bon kaléidoscope à la bonne place pour retrouver, en plus grand, la mosaïque.
Placez l’un des miroirs sur les lignes rouges. Vous allez retrouver un pavage de nos cuisines.

Que retenir ?

Les pavages islamiques sont des répétitions à l'infini d'un même motif.
Il est dessiné dans un triangle qui, par symétries-miroirs, va se reproduire pour donner un carré, un hexagone ou tout autre polygone ayant un nombre pair de côtés.
La même technique a, été utilisée par des artistes comme Escher avec des motifs plus figuratifs. Idée & Réalisation : Centre•Sciences.

2.3- Où suis-je ?

Combien faut-il de satellites en orbite autour de la Terre pour savoir à tout instant où l’on se trouve?

Trois suffisent : ils mesurent leur distance à l’objet repéré (un quatrième donne une correction qui améliore la précision).
L’objet à localiser, s’il est muni d’un récepteur portable, communique avec les satellites par ondes hertziennes.

Il se trouve à l’intersection des 3 sphères ayant pour centre chacun des satellites et pour rayon leur distance à l’objet.
Les systèmes GPS (Global Positioning System) ou russe et bientôt, le système européen Galileo- permettent ainsi à tout instant de savoir où l’on se trouve.

Expérience sur table

Satellites en orbite !

Faites tourner une bille autour de la Terre. Sa trajectoire peut-elle être circulaire ?
Essayez d’en faire tourner deux ou trois.

Que retenir ?

Lors de son lancement, un satellite est placé sur une orbite elliptique.
Les satellites d’observation de la Terre sont sur des orbites “géostationnaires”.
Pour ces problèmes satellitaires, les mathématiciens utilisent des outils développés depuis Kepler, mais aussi des résultats récents qui tiennent compte de la relativité. Idée & Réalisation : Jean Brette & Centre•Sciences.